Основное свойство дроби

Основное свойство дроби – что это за свойство? В чем заключается смысл этого свойства?
Для того чтобы разобраться в данном вопросе, будем использовать разные пособия, например, геометрические фигуры, вырезанные из бумаги.

Возьмем две ОДИНАКОВЫЕ (это очень важно!) полоски.
Первую полоску разделим пополам.

У нас получились 2 одинаковые части. Каждая часть — это 1 доля (см. статью здесь) от целого отрезка или 1/2. В целом прямоугольнике 2 вторых доли.

Теперь каждую половинку разделим еще пополам.

У нас получились 4 одинаковые части. Каждая часть составляет тоже одну долю от прямоугольника, но это уже – 1/4. В целом прямоугольнике четыре четвертых доли. А в половине две четвертых доли.

Сравним доли: вторую и четвертую.
1/2 > 1/4.

Вставьте число вместо «окошка», чтобы равенство стало верным: 1/2 = □ /4? (1/2 = 2/4).

Теперь четвертые части разделим еще пополам.
У нас получилось 8 одинаковых частей, одна из которых это – 1/8. В прямоугольнике восемь восьмых.

Посмотрите, сколько восьмых частей в четверти ? (2). А в половине? (4).
Какое число надо вставить, чтобы равенства было верными: 1/4 = /8; 1/2 = /8? (1/4 = 2/8; 1/2 = 4/8).

Итак: 1/2 = 2/4 = 4/8.
Давайте подумаем: что изменяется и почему?
Рассмотрим дроби попарно.
1/2 и 2/4. Посмотрим на числители: 1 и 2. Как они изменились? Числитель во второй дроби стал больше: 1 – 2, т.е. 1 х 2 = 2.
Что же происходит со знаменателем?  Так же: было 2, стало 4:  2 х 2 = 4.
Вторая пара 2/4 и 4/8. Посмотрим на числитель: было 2, стало 4:  2 х 2 = 8.
А знаменатель? Было 4, стало 8, т.е. 4 х 2 = 8.
Получается: когда числитель и знаменатель в дроби умножить на 2, то получатся равные дроби.

Пример 2: Круги разделили на части. Первый круг — на 6 равных частей и закрасили 3 части, т.е. 3/6.  Второй — на 8 равных частей и закрасили 4, т.е. 4/8. Третий разделили на 10 частей и закрасили 5, т.е. 5/10.

Если внимательно посмотреть на эти части, то видно, раскрашены одинаковые части — половина — 1/2.
То есть: 1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10.
Давайте подумаем: как изменяются дроби?
Первая пара: 1/2 = 3/6 —
сравним числители: 1 – 3. Что произошло? Числитель увеличился. Был 1 – стал 3, т.е. 1 х 3 = 3.
Что же происходит со знаменателем?  Так же: был 2 – стал 6: 2 х 3 = 6.
Получается: когда числитель и знаменатель в дроби умножить на 3, то получатся равные дроби.

Вторая пара: 1/2= 4/8 –
сравним числители: 1 – 4. Что произошло? Числитель увеличился. Был 1 – стал 4, т.е. 1 х 4 = 4.
Что же происходит со знаменателем?  То же самое: был 2 – стал 8 — 2 х 4 = 8.
Получается: когда числитель и знаменатель в дроби умножить на 4, то получатся равные дроби.

Третья пара: 1/2= 5/10 –
сравним числители: 1 – 5. Что произошло? Числитель увеличился. Был 1 – стал 5, т.е. 1 х 5 = 5.
А знаменатель?  То же самое: был 2 – стал 10: 2 х 5 = 10.
Получается: когда числитель и знаменатель в дроби умножить на 5, то получатся равные дроби.

Вывод: дробь УВЕЛИЧИВАЕТСЯ – если и числитель, и знаменатель умножают на одно и то же число.

А можно уменьшить дробь?

Разобраться в этом нам поможет схема.
Начертим отрезок, разделим его на 12 равных частей и возьмем 8 частей.

Точно такой же отрезок разделим на 3 одинаковых части и возьмем 2 части.

Мы видим, новые отрезки одинаковые по длине, значит и дроби 8/12 и 2/3 равны.
Посмотрим на числитель: 8 и 2. Как из 8 получить 2? Надо 8 : 4 = 2.
Знаменатель: был 12, стал 4. Как из 12 сделать 4? Надо разделить на 4.

Это свойство будем использовать, если надо дроби привести к другому знаменателю, а также при сокращении дробей.

Потренируемся: